マカンコウサッＰ・・・
こんにちは。新川教室の佐々木のぶです。
有理数と無理数が合わさった実数
と
自然数
の
濃度比較をします！
必殺技
対角線論法
この技を使うと実数の方が自然数より濃度が多い事が分かります。
必殺技を使うには気をためる必要があります。
間違えました。
準備が必要です。
実数は０より大きく、１未満の範囲にある実数を考えれば十分です。
自然数は別名を復習しておきましょう。
さて・・・
なかなか大変な気がしてきました。
がんばりましょう。
実数は小数で考えます。
０から１の間で考えればいいのでその間にある小数を順番に並べていきます。
自然数で通し番号をつけながら。
1 : 0.a1a2a3a4a5・・・
2 : 0.b1b2b3b4b5・・・
3 : 0.c1c2c3c4c5・・・
4 : 0.d1d2d3d4d5・・・
5 : 0.e1e2e3e4e5・・・
・・・
数字付きのa, b, c, d, e, ・・・はそれぞれ０から９までの整数を表していると思って下さい。
何かしらの規則性を持ってして上手い事 全部小数に通し番号をふる事ができた！
と思いきや、、
必殺技を使うと番号をふられた小数たちと値が異なる別の小数を作る事ができます。
番号をふられた小数の、１個目の小数第一位の整数、２個目の小数第二位の整数、３個目の小数第三位の整数・・・
と１つずつ情報をもらってきます。
上の例だとa1, b2, c3, d4, e5, ・・・の位置にある整数になります。（対角線上！）
この情報を元に新しい小数を作っていきます。
例えば抜き出した整数が偶数だったらその位置に１を入れ、奇数だったら２を入れるみたいな感じです。
a1=5, b1=4, c1=8, d1=0, e1=1, ・・・
だったとすると
0.21112・・・という小数が作れます。
この小数は、通し番号をふったどの小数とも違う値を持つ事になりますよね。
自然数だから通し番号は無限にふれますが、どんなに無限に番号をふっても
その枠組みの外に 値の違う小数を作る事ができます。
つまり全ての実数に自然数で通し番号をふる事はできないという事になります。
自然数も実数もそれぞれ無限にあるのに実数の濃度の方が多いという結論になりました。
まぁでも、無理数を作る時に無限の操作を考えた訳ですから、今回は何となく納得もできるような気がたまります。
みんなの元気を！
ではまたー
のぶ
