分数
こんにちは。新川教室の佐々木のぶです。
前回は自然数と分数の濃度比較についてさわりを書いてひっぱりました。
分数は0から1までの数直線の間にいくらでも作ろうと思えば作れますよね。
これは流石に分数の方が多いと言いたくなっちゃうし、
早く言いたいとか言いたくなっちゃうのも分かります。
（ひっぱっておいて何ですが。）
しかーし！はたして本当にそうなんでしょうか？？
実は分数と自然数も濃度は等しいんです！
自然数で分数に通し番号を振る事ができるという事です！
ただ、今回はもしかしたら、直感的・感覚的、或いは論理的に濃度は同じになりそう。
なんて思った人もいるかもしれませんね。
0から1までの数直線の間に分数を沢山作る事を想像したら
何となくそんな感覚になる人もいそうなキガス。
（数直線を分数で埋める事については次回書きたいかなー。）
さてではどうやって自然数で分数に通し番号を振りましょうか。
中学生になったーらー♪
正負の数やXY平面について習いますね。
今回はXY平面の助けを借りましょう。
x座標、y座標ともに整数の点、いわゆる格子点を使わせてもらいます。
格子点のx座標を分母、y座標を分子とする分数を考えると、格子点１点と１つの分数が対応する事になります。
ただーーしっ！！！
分母が０になる事はできないのでY軸上の格子点には分数は対応させません。
（０除算や０についてもいつか）
これでXY平面上の格子点に分数が敷きつめられました。
では自然数で番号を振っていきますっ！
1 ( 1, 0):= 0/1
2 ( 1, 1):= 1/1
3 (-1, 1):= -1/1 *Y軸はすっ飛ばします！
4 (-1, 0):= 0/1 (= 0)
5 (-1, -1):= 1/1
6 ( 1, -1):= -1/1 *Y軸はすっ飛ばします！
7 ( 2, -1):= -1/2
8 ( 2, 0):= 0/2 (= 0)
9 ( 2, 1):= 1/2
・・・
つまりグルグル回転しながら格子点をたどっていく事によって全格子点に番号を振る事ができるという訳です。
トンボじゃなくても目が回ります。
見ての通り重複する分数が多数でてきますがそれをもカバーできる訳です。
＊実際のところ本当はXY平面の全面に渡る格子点じゃなくて全然ＯＫです。
＊yが０以上の範囲で十分なので、今回はかなり冗長になってしまっています。
＊文章のみで伝わりやすくするための方法にしました。
しかし何とも不思議な結果ですね。
自然数と濃度が等しい集まりを加算集合といいます。
（集合はただ単に物を集めたものの事です。）
つまり整数や分数は加算集合という訳です。
無限個あるのに加算とはこれいかに！？
ですが、番号を振る事ができる程度の無限という感覚のようです。
加算集合！
次回は数直線について考えましょー
ではー
のぶ
